গণিত ইশকুলের আজকের পর্বে আমরা উৎপাদকের রাজ্যে প্রবেশ করছি। কিছুদিন আগে খালেদ নামের এক শিক্ষার্থীর সঙ্গে দেখা হলো, যে অলিম্পিয়াড প্রস্তুতির পরীক্ষায় ১৫৭৫০-এর সব উৎপাদকের যোগফল বের করতে গিয়ে বেশ বিপাকে পড়েছিল। বড় সংখ্যার সব উৎপাদক খুঁজে বের করে যোগ করা সময়সাপেক্ষ এবং ক্লান্তিকর কাজ। খালেদের মতো যেন অন্য কাউকে এমন সমস্যায় পড়তে না হয়, তাই আজ আমরা যেকোনো পূর্ণসংখ্যার সব উৎপাদকের যোগফল বের করার সহজ গাণিতিক সূত্রটি নিয়ে আলোচনা করব।

উৎপাদক সংখ্যা বের করার প্রাথমিক ধাপ এবং সব উৎপাদকের যোগফল বের করার ধাপ প্রায় একই। প্রথমে সংখ্যাটিকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে হবে। যদি কোনো সংখ্যা N = p₁ᵃ¹ × p₂ᵃ² ×… × pₖᵃᵏ আকারে থাকে, তবে এর সব ধনাত্মক উৎপাদকের যোগফল বের করার সূত্রটি হলো

(p₁⁰ + p₁¹ + p₁² +… + p₁ᵃ¹) × (p₂⁰ + p₂¹ + p₂² +… + p₂ᵃ²) ×… × (pₖ⁰ + pₖ¹ + pₖ² +… + pₖᵃᵏ)

সহজ কথায়, কোনো সংখ্যাকে মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার পর প্রতিটি মৌলিক উৎপাদকের শূন্যতম ঘাত থেকে সর্বোচ্চ ঘাত পর্যন্ত রাশিগুলোর যোগফল নির্ণয় করতে হবে। এরপর প্রাপ্ত যোগফলগুলো পরস্পর গুণ করলেই সব ধনাত্মক উৎপাদকের যোগফল পাওয়া যাবে।

উৎপাদকের ব্যবহার কেবল পাঠ্যবইয়ের গণিতেই সীমাবদ্ধ নয়। টাইলস বসানোর হিসাব থেকে শুরু করে ক্রিপ্টোগ্রাফি বা কম্পিউটারের ডেটা প্যাকেটিংয়ের মতো জটিল প্রযুক্তিগত কাজেও উৎপাদকের গাণিতিক নিয়ম ব্যবহৃত হয়। দৈনন্দিন জীবনে আমরা না জেনেই অনেক সময় উৎপাদকের হিসাব করে থাকি।

পাঠকদের জন্য অনুশীলনী হিসেবে কিছু গাণিতিক সমস্যা নিচে দেওয়া হলো

• ১৫৭৫০ সংখ্যাটির সব ধনাত্মক উৎপাদকের যোগফল নির্ণয় করো।
• ১২ ফুট × ১৮ ফুট মেঝের জন্য সম্ভাব্য বৃহত্তম বর্গাকার টাইলসের বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
• একটি সিকিউরিটি কোডের জন্য এমন ধনাত্মক সংখ্যা N কত, যার উৎপাদক সংখ্যা ৩টি এবং যোগফল ৩১?
• N = 2ᵃ × 3ᵇ হলে এবং সব উৎপাদকের যোগফল ১২০ হলে, (a, b)-এর মান কত?
• ২৪০ জন শিক্ষার্থীকে আয়তাকার দলে সাজানোর উপায় কয়টি এবং কলামের সংখ্যা সারির চেয়ে বেশি হওয়ার সম্ভাবনা কত?
• ৬টি ধনাত্মক উৎপাদকবিশিষ্ট ক্ষুদ্রতম সংখ্যা N নির্ণয় করো, যার সব উৎপাদকের যোগফল নির্দিষ্ট।

কম্পিউটার ডেটা সেন্টারের একটি বিশেষ সমস্যা সমাধানের শর্তগুলো হলো

1. ফাইলের সাইজ N = 2⁴ × 3³ × 5² গিগাবাইট।
2. প্যাকেটের সাইজ N-এর উৎপাদক হতে হবে এবং এর আকার ১ গিগাবাইটের চেয়ে বেশি কিন্তু N-এর চেয়ে কম হতে হবে।
3. প্যাকেটের আকার অবশ্যই একটি জোড় সংখ্যা হতে হবে।

আপনার গাণিতিক চিন্তা ও সৃজনশীল লেখা আমাদের কাছে পাঠাতে পারেন। গণিত ইশকুল নতুন রূপে শিক্ষার্থীদের মাঝে গণিতের আনন্দ ছড়িয়ে দিতে বদ্ধপরিকর। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: আমি ওকে কারণ জিজ্ঞাসা করতে গেলে খালেদ বলল, ‘আজ অলিম্পিয়াড প্রস্তুতির পরীক্ষায় প্রথম প্রশ্নে আমাকে ১৫৭৫০-এর সব উৎপাদকের যোগফল বের করতে দিয়েছিল। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: আমি হাসতে হাসতে বললাম, ‘তুমি গণিত ইশকুলের আগের পর্বটা পড়োনি। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: ওখানেই তো তোমার ওই সমস্যা সমাধানের অনেকটা ফর্মুলা দেওয়া আছে। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: আরেকটু চিন্তা করলে ওখান থেকেই তুমি শর্টকাট কোনো উপায় পেয়ে যেতে।’। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: কী বলো?’ খালেদ বলল, ‘নিশ্চয়ই, কেন নয়!’। প্রতিবেদনে যোগ করা তথ্য: তারপর আমি খালেদকে সূত্রটা শিখিয়ে দিলাম।

যোগাযোগ ও তথ্য

• ইমেইল: g[email protected]
• ফেসবুক: https://www.facebook.com/PA.GonitIshkul
• সহযোগিতায়: বাংলাদেশ গণিত অলিম্পিয়াড কমিটি